Las 3 funciones mas importantes en trigonometría

Es la subdivisión de las matemáticas que se encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.

Esta especialidad interviene en diversas áreas de las matemáticas en las que se necesita trabajar con precisión. La trigonometría, de todas formas, cuenta con una amplia variedad de aplicaciones. Permite, por ejemplo, medir las distancias entre dos ubicaciones o cuerpos celestes a partir de técnicas de triangulación. La trigonometría también se aplica en los sistemas de navegacion satelital.

Existen tres unidades que emplea la trigonometría para la medición de ángulos: el radian (considerada como la unidad natural de los ángulos, establece que una circunferencia completa puede dividirse en 2 pi radianes), el gradián o grado centesimal  (que permite dividir la circunferencia en cuatrocientos grados centesimales) y el grado sexagesimal (se usa para dividir la circunferencia en trescientos sesenta grados sexagesimales).

Las principales razones trigonométricas son tres: el seno (que consiste en calcular la razón existente entre el cateto opuesto y la hipotenusa), el coseno (otra razón pero, en este caso, entre el cateto adyacente y la hipotenusa) y la tangente (la razón entre ambos catetos: el opuesto sobre el adyacente).

Las razones trigonométricas recíprocas, por otra parte, son la cosecante (la razón recíproca del seno), la secante (la razón recíproca del coseno) y la cotangente (la razón recíproca de la tangente).

Estas son las distintas clases de razones trigonométricas principales, pero tampoco podemos obviar que también hay otros elementos fundamentales dentro de esta rama de las Matemáticas que ahora nos ocupa. En concreto, nos estamos refiriendo a las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Estas últimas nos llevarían a hablar de lo que se conoce como circunferencia goniométrica que se caracteriza por el hecho de que su radio es la unidad en sí y su centro no es otro que el origen de las coordenadas pertinentes. Todo ello sin olvidar tampoco que en la misma los ejes de las coordenadas lo que hacen es delimitar cuatro cuadrantes que están enumerados en lo que es el sentido contrario al que marcan las agujas de un reloj.

Se conoce como identidad trigonométrica a la igualdad que involucra a funciones trigonométricas y que resultan verificables para cualquier valor de las variables (los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

Además de todo lo expuesto no podemos tampoco pasar por alto la existencia de dos modalidades de trigonometría. Así, en primer lugar, tendríamos la llamada trigonometría esférica que es aquella parte de las Matemáticas que se centra en proceder al estudio de lo que son los triángulos de tipo esférico.

En segundo lugar, por su parte, también está la conocida como trigonometría plana. En este caso, como su propio nombre indica, es aquella ciencia que tiene como objeto de análisis y estudio los diversos triángulos planos.                 

Las tres funciones más importantes en trigonometría son el seno, el coseno y la tangente. Cada una es la longitud de un lado dividida entre la longitud de otro... ¡sólo tienes que aprenderte qué lados son!

Para el ángulo θ :

Función seno:	sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa
Función coseno:	cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa
Función tangente:	tan(θ) = Opuesto / Adyacente

Sohcahtoa

Soh...	Seno = Opuesto / Hipotenusa
...cah...	Coseno = Adyacente / Hipotenusa
...toa	Tangente = Opuesto / Adyacente

Ejemplos

Nota: el seno se suele denotar sin() (por la palabra inglesa "sine") o sen(). Aquí utilizaremos sin() pero puedes encontrarte la otra notación en otros libros o sitios web.

Sohca...¿qué? ¡Sólo es una manera de recordar qué lados se dividen! Así:

Apréndete "sohcahtoa" - ¡te puede ayudar en un examen!

Ejemplo 1: ¿cuáles son el seno, coseno y tangente de 30° ?

El triángulo clásico de 30° tiene hipotenusa de longitud 2, lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud √3:

Seno	sin(30°) = 1 / 2 = 0.5
Coseno	cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866
Tangente	tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577

(¡saca la calculadora y compruébalo!)

Ejemplo 2: ¿cuáles son el seno, coseno y tangente de 45°?

El triángulo clásico de 45° tiene dos lados de 1 e hipotenusa √2:

Seno	sin(45°) = 1 / 1.414 = 0.707
Coseno	cos(45°) = 1 / 1.414 = 0.707
Tangente	tan(45°) = 1 / 1 = 1

                                                                                                                                            Hoy nos despedimos,este es nuestro ultimo blog y vamos a aprovecharlo para que ustedes sepan un poco de quienes andan atrás de esto.
Somos dos alumnas que investigan mucho para cada entrada, cada una de ellas tiene toda nuestra dedicación.
Esto comenzó como un trabajo para la escuela, era nuestra oblación cumplir con todas las entradas a tiempo pero, luego se fue haciendo algo no placentero.
El impresionante todo lo que aprendimos sobre el increíble mundo de las matemáticas.
Queremos contarles que los temas de las entradas eran a nuestra elección y esto nos permitía investigar sobre nuestras dudas.
Fue una gran experiencia y una gran idea realizar este trabajo, nos fue de mucha ayuda y espero que a nuestros lectores también.

Les queremos recordar que aunque no sigamos con nuestras entradas semanales, pueden seguir utilizando las que ya subimos.

                                                          
                                                 Hasta siempre!... CAMAGOS.

3 MATEMATICOS ARGENTINOS DEL SIGLO XXI IMPORTANTES

Adrián Arnoldo Paenza 

Nació en Buenos Aires el 9 de mayo 1949, es un licenciado y doctor en ciencias matemáticas por la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires y periodista deportivo. Entre 1986 y 1997 fue profesor asociado del departamento de matemáticas de esa institución. Ganador del Premio Konex en la categoría Periodismo Deportivo Audiovisual en 1997, ejerce el periodismo en diversos medios, y es conductor del programa «Científicos Industria Argentina», galardonado con el Premio Martín Fierro en 2007. Trabajó en las radios más importantes del país y en los cinco canales de aire de la Argentina. Fue redactor especial de varias revistas y colabora con tres diarios nacionales: Clarín, Página 12 y La Nación. En 2007 recibió el Premio Konex de Platino a la Divulgación Científica. 

Obras literarias 
* Propiedades de Corrientes Residuales en el Caso de Intersecciones No Completas, tesis doctoral de 1979. 
* Matemática... ¿Estás ahí?, sobre números, personajes,problemas y curiosidades. 
* Matemática... ¿Estás ahí? Episodio 2, más historias sobre números, personajes, problemas, juegos, lógica y reflexiones sobre la matemática. 
* Matemática... ¿Estás ahí? Episodio 3.14, problemas, juegos y reflexiones sobre las matemáticas. Caen bajo su cordial charla el Nim, la teoría de juegos, la combinatoria, la Ley de Benford, los números primos y otras maravillas de los números, las figuras y el pensar. 

Lázaro Recht

Nacio en Buenos Aires el 16 de julio de 1941 es unmatematico argentino hijo de judíos polacos. Entre otras distinciones, ha recibido, entre otros, el Premio Andes Bello, mención Ciencias Básicas (1989); el Premio José Francisco Torrealba (1993) que otorga la Asociación de Profesores de la Universidad Simón Bolívar; el Premio Anual al Mejor Trabajo Científico (1994), mención honorífica, en el área de Matemáticas, que le otorgó el CONICIT; y el Premio Lorenzo Mendoza Fleury (2003).² Se desempeñaba como Profesor Titular de la Universidad Simon Bolivar. Actualmente trabaja en la Universidad de los Andes en Colombia.

Obtuvo su licenciatura en Matemáticas en la Universidad de Buenos Aires, en 1963, y el Ph.D en el Massachussets Institute of Technology, EE.UU, en 1969.³ Se incorporó al Departamento de Matemáticas de la Universidad Simón Bolívar en el año 1971 y es Profesor Titular de esa institución desde 1978. Sus principales contribuciones científicas están en el campo de la Geometría del Análisis Funcional y en Geometría Diferencial, aportes que han sido reflejados en 41 artículos publicados en revistas internacionales de alto impacto. Ha sido profesor visitante en prestigiosas universidades de EE.UU, Italia y Argentina. Es miembro correspondiente de la Academia Nacional de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Argentina.

Es miembro del Sistema de Promoción al Investigador (Nivel IV).

Pablo Amster

Nacio en Buenos Aire el 2 de agosto de 1968, es un licenciado y doctor en ciencias matemáticas por la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires en la cual se desempeña actualmente como Profesor Asociado y Director del Departamento de Matemática. Investigador Principal del CONICET.

Obras

• La Matemática como una de las Bellas Artes (2004)

• Fragmentos de un discurso matemático (2007)

• Mucho poquito nada. Un pequeño paso matemático (2007)

• ¡Matemática, maestro! Un concierto para números y orquesta. (2010)

• Teoría de juegos. Una introducción matemática a la toma de decisiones. (2014)
  
  

Angulos Adyacentes y Complementarios

ÁNGULOS ADYACENTES : Tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún punto interior en común. En la literatura del tema es posible también encontrar casos donde se denomina como adyacentes a cualquier par de ángulos que compartan el vértice y un lado, aunque no sean suplementarios (es decir, se llaman adyacentes a los ángulos que en otros textos se denominan consecutivos), quizás debido a la influencia del inglés en donde adjacent angles tiene este significado. Por ello es importante al abordar un texto sobre el tema, tener presente cual es la convención usada. En este artículo se efectúa la distinción, considerando únicamente el caso en que los lados no comunes formen una línea recta, reservando el artículo ángulos consecutivos para la otra acepción.     

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:  medidas suman 90º (grados sexagesimales). Si dos ángulos complementarios son consecutivos, los lados no comunes de los dos forman un angulo recto.β = 90° – 70º = 20º
el ángulo β (beta) es el complementario de α (alfa)
Así, para obtener el ángulo complementario de α, teniendo α una amplitud de 70°, se restará α de 90°:
Sabiendo esto, dichos ángulos formarán siempre un triángulo rectángulo puesto que los ángulos en un triángulo rectángulo son uno de 90º y los otros dos deben sumar 90 (180º(grados totales de un triángulo)-90º=90º). Por tanto, el seno de α es igual al coseno de β y el seno de β igual al coseno de α puesto que pertenecen al mismo triángulo rectángulo.
La diagonal de un rectángulo también configura ángulos complementarios(90°) con los lados adyacentes.

             

ORIGEN DEL SIMBOLO DE LA RAIZ CUADRADA

El símbolo de raíz se empezó a usar en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación 4 5 que aparece en su libro Coss y apareció por primera vez en un libro alemán de álgebra. Antes, para indicar la raíz de un número se escribía “raíz de …”. Luego, para abreviar, se empezó a poner “r”. Pero si el número era largo, el trazo horizontal de la “r” se alargaba hasta abarcar todas las cifras. Así nació el símbolo de la raíz, como una “r” mal hecha.

                                      

La generalización de la función raíz cuadrada a los números negativos da lugar a los números imaginarios y al campo de los números complejos. 
Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al desarrollo de los números complejos.
Se encuentra el hecho de que lo que hace es transformar números racionales en algebraicos.

La raíz cuadrada de un número real no negativo x es el número real no negativo que, multiplicado con sí mismo, da x. La raíz cuadrada de x se denota por √x. Por ejemplo, √16 = 4, ya que 4 × 4 = 16, y √2 = 1,41421... . Las raíces cuadradas son importantes en la resolución de ecuaciones cuadráticas. 

El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo, donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando. 

BLAISE PASCAL

                                                          Blaise Pascal

Hoy vamos a hablar sobre un polímata, matemático, físico, filósofo cristiano y escritor francés llamado Blaise Pascal.

Este hombre fue nacido en Francia el 19 de Junio de 1623 y fallecido el 19 de agosto de 1662 a los 39 años, en París.

Aunque su fallecimiento fue muy temprano, Pascal tiene una biografía muy extensa, llena de cosas muy interesantes, hoy les vamos a contar algunas de ellas.

·         Triángulo de Pascal (1654): Matemáticos Indios fueron los primeros en conocer las propiedades y aplicaciones del triángulo, pero Pascal desarrollo muchas de sus aplicaciones y fue el primero en organizar la información de manera conjunta.

Es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico. Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando n´´umeros de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos. El triángulo es infinito. Los números que se obtienen son los coeficientes del desarrollo de (a+b) elevado a un numero natural.

·         Teorema de Pascal (1639): este teorema fue descubierto por Pascal cuando tenia la edad de 16 años. el teorema fue generalizado por Mobiusen. El siguiente establece que: Si un hexágono arbitrario se encuentra inscrito en alguna sección cónica, y se extienden los pares opuestos de lados hasta que se cruzan, los tres puntos en los que se intersectan se encontrarán ubicados sobre una linea recta.

·         Calculadora Pascalina (1642): En 1642, con tan solo 19 años de edad, Pascal concibió la idea de la Pascalina. Este invento permitía sumar y restar dos números de manera directa y hacer la multiplicación y división por repetición.

Estaba formada por ruedas que representaban las unidades, las decenas, las centenas, etc. Las ruedas tenían sobre su circunferencia escritos números del 0 al 9. Las ruedas cuentan del 1al 10, cuando una rueda daba na vuelta completa, se sumaba una unidad a la izquierda de esta rueda. Era algo parecido a una caja, pero mas baja y alargada.

Esto fue todo por hoy, pero vamos a seguir con más cosas que se encuentran en la biografía de Pascal. Espero que les haya servido!.

Adrian Paenza explica "probabilidad"

Aca dejamos un video de uno de los mas grandes matematicos ADRIAN PAENZA explicando que es la PROBABILIDAD

https://youtu.be/-un9viVZfDA

DOMINÓ DE FRACCIONES CON EXPRESIONES LITERALES

Un curioso dominó, encontrado en una página anglosajona que no recuerdo y que incorpora además de las fracciones irreducibles o a simplificar y su representación como partes de un todo, la expresión literal de las fracciones, un cuarto, un medio, un sexto etc…..

Objetivos didácticos: Jugando a este juego, se pretende que los alumnos manejen los números racionales de tres formas distintas y equivalentes, en forma de fracción, como parte de un todo y como expresión literal y que sepan pasar de una forma a otra.

Observaciones: La estructura de los dominós clásicos, 8 veces el 0, 8 veces el 1, etc., hasta 8 veces el 6, obteniéndose las 28 fichas del dominó mediante todas las posibles combinaciones de 7 resultados, tomados de dos en dos, más las siete fichas de dobles, se ha reproducido en las 28 fichas que presentamos, cambiando las cifras de un dominó clásico por números fraccionarios. Los 7 valores que se han utilizado para las fichas son los siguientes:

Nivel: 1º-2º de ESO

Actividad: Se trata de jugar unas partidas de dominó con estas 28 fichas, de la misma forma exactamente que se juega con las fichas del dominó tradicional.

Para eso, se pueden fotocopiar las fichas, ampliándolas, en una cartulina que se plastificará para que tenga una consistencia suficientemente dura y para que se pueda utilizarlas en ocasiones posteriores. A continuación se recortarán las fichas plastificadas.

En una sesión normal de clase se puede jugar varias partidas, haciendo por ejemplo un torneo en el grupo de clase, tal como se explica en la página de este blog dedicada a los DOMINÓS.

Reglas del juego: Juego para dos o cuatro jugadores.

 – Se reparten 7 fichas por jugador. Si son dos jugadores, las fichas sobrantes se quedan sobre la mesa boca abajo para ser cogidas en su momento.

 – Sale el jugador que tiene el mayor doble, (5/6 , 5/6).

 – Por orden los jugadores van colocando sus fichas, enlazadas con la primera en cualquiera de los lados de la ficha, mediante fracciones con el mismo valor.

 – Si un jugador no puede colocar una ficha porque no tiene valores adecuados, pierde su turno. En el caso de dos jugadores coge una nueva ficha hasta conseguir la adecuada o agotarlas todas.

 – Gana el jugador que se queda sin ficha. si se cierra el juego y nadie puede colocar una ficha, gana el jugador que tiene menos puntos, sumando los valores de las fichas que le han quedado.

Primeros calendarios de dos principales civilizaciones

EGIPCIOS: Ellos observaron las crecidas y el ciclo de inundaciones del río Nilo, que duraban al rededor de 3 meses. Esto era muy necesario para los egipcios debido a que de esta manera sabían el momento de cosecha, de siembra y de recolección. Por este motivo crearon el primer calendario solar de la historia, llamado Pergamino Bhind.
         Este era dividido en años de 365 días, en 12 meses de 70 días y comienza a contarse con el inicio de cada reinado, siguiendo el orden: mes- estación- día- numero cardinal y titulo de faraón reinante.

ROMANOS: Utilizaban el sistema de kalendas, así surge la palabra calendario.

          Para ellos su primer año era rotulo. El año contiene 4 meses de 31 días y el resto se contabilizaban como 30 días. El año empezaba en marzo.

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

Hoy dejamos un vídeo muy entretenido que explica la "SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS"
Esperamos que guste, saludos :*

Como se midió por primera ves la velocidad de la luz

Desde la antigua Grecia, los astrónomos han intentado medir la velocidad de la luz. Aquellos primeros astrónomos, creyeron que ésta era infinita, aunque no encontraron el modo de conseguir ratificar esta creencia con pruebas concluyentes.

De todos modos, la velocidad de la luz se creyó infinita hasta la llegada del siglo XVII. Galileo intentó medir la velocidad de la luz mediante faroles equipados con obturadores, que un asistente de Galileo abría en momentos específicos. Galileo intentó medir el tiempo que le tomaba a la luz en atravesar el campo de varios kilómetros donde intentó la medición, aunque su único resultado fue afirmar que la luz era demasiado rápida como para ser medida.

I: Ole Rømer

La primera medición verdadera de la velocidad de la luz tuvo lugar en 1676. Ole Romer, mientras observaba las lunas de Júpiter, se percató que el lapso de tiempo entre los eclipses de Júpiter con sus lunas se hacía más corto cuando la Tierra se movía hacia Júpiter, y más largo cuando la Tierra se alejaba. Este comportamiento anómalo tan sólo tenía sentido con una velocidad de la luz finita.

Con esto en cuenta, Ole Rømer fue la primera persona en estimar la verdadera velocidad de la luz, con un valor de 214.000 km/s. Considerando la antigüedad de la medición, y sabiendo que por aquel entonces se desconocía la distancia exacta que separaba a Júpiter de la Tierra, la medición fue sorprendentemente cercana al valor real de la velocidad de la luz.

Medio siglo más tarde, en 1725, James Bradley intentó medir la distancia de una estrella mediante la observación de la orientación de la misma en dos momentos distantes del año. Con el movimiento de translación de la Tierra, Bradley pretendía obtener una triangulación que le permitiera medir esta distancia. Una vez tuvo las medidas, se percató de un problema en ellas, explicándolo mediante la aberración estelar.

II: James Bradley

Tres años más tarde, mientras Bradley observaba Draco, teniendo en cuenta la aberración estelar que él mismo había descubierto y la conocida velocidad de la Tierra en torno al sol, Bradly obtuvo una medición más acertada de la velocidad de la luz por un valor de 301.000 km/s.

Ya en el siglo XIX, Armand Fizeau y Leon Foucault intentaron medir la velocidad de la luz en la Tierra, mediante espejos separados por una gran distancia, pero sin que sus mediciones mejorasen notablemente el valor establecido por Bradley años atrás.

No sería hasta que Maxwell hiciera sus avances en el campo del electromagnetismo, que fuera posible la medición de la velocidad de la luz de forma indirecta mediante la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica. Con la teoría de Maxwell sobre el papel, fueron muchos los que mejoraron las mediciones de la velocidad de la luz, hasta llegar al valor adoptado en 1983 de 299.792,458 km/s.